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寧波大學871高等代數2004,2008--2019年考研初試真題_圖文

寧波大學 2019 年碩士研究生招生考試初試試題(A 卷) (答案必須寫在考點提供的答題紙上) 科目代碼: 871 總分值: 150 科目名稱: 高等代數 一、計算問答題(每小題 10 分,共 60 分) 1. 設 A ? (aij )n?n 是一個 n 階矩陣, A ? d. 又設 B ? (bij )n?n 滿足 bij =ci?2 jaij , c ? 0 ,用行列式 的定義求 B . 2. 若向量組 α1,α2, 相關性. 3. 解方程組 ,αs (s ? 2) 線性無關,試討論 α1 ? α2,α2 ? α3, ,αs?1 ? αs ,αs ? α1 的線性 ? ? ? ? x1 x1 ? ? ? x2 x2 ? ? x3 x3 ? 1, ? ?, ??x1 ? x2 ? ? x3 ? ? 2. 4. 已知二次型 f (x1, x2, x3) ? ?1? a? x12 ? ?1? a? x22 ? 2x32 ? 2?1? a? x1x2 的秩為 2. (1) 求 a 的值. (2) 求正交變換 X ? QY ,將 f (x1, x2, x3) 化為標準形. (3) 求方程 f (x1, x2, x3) ? 0 的解. 5. 設 ? 13 16 16 ? A ? ? ? ?5 ?7 ?6 ??, ?? ?6 ?8 ?7 ?? 求矩陣 A 的不變因子,初等因子,若當標準形,有理標準形. 6. 設線性變換? : R3 ? R3 定義為 ?x? ? x? y?z ? ? ? ? y ? ? ? ? ? 2x ? y ? z ?? . ?? z ?? ?? y ? z ?? (1) 求出? 在下述基下的矩陣: e1 ? (1,0,0)?,e2 ? (0,1,0)?,e3 ? (0,0,1)?. (2) 求出? 在下述基下的矩陣:?1 ? (1,1,1)?,?2 ? (1,?1,2)?,?3 ? (0,1,1)?. (3) 寫出?1,?2,?3 到 e1, e2,e3 的過渡矩陣. 第1頁共2頁 寧波大學 2019 年碩士研究生招生考試初試試題(A 卷) (答案必須寫在考點提供的答題紙上) 科目代碼: 871 總分值: 150 科目名稱: 高等代數 二、證明題(每小題 15 分, 共 90 分) 1. 設 f (x) 是 一 個 2017 次 整 系 數 多 項 式 , a1, a2, , a2018 是 彼 此 不 同 的 整 數 , 且 f 2 (ai ) ? 1, i ?1, 2, , 2018 ,證明: f (x) 在有理數域上不可約. 2. 設 n ? 2 , f1(x), f2 (x), , fn (x) 是關于次數小于或等于 n ? 2 的多項式,a1, a2, , an 為任 意數,證明:行列式 f1(a1) f2 (a1) f1(a2 ) f2 (a2 ) fn (a1) fn (a2 ) ? 0. f1(an ) f2 (an ) fn (an ) 并舉例說明條件“次數 ? n ? 2 ”是不可缺少的. ? ? 3. 設 n 階矩陣 A ? aij 的每一行只有一個元素是1,其余元素都是 0 ;而每一列的元素之和 n?n 是1. 證明:存在自然數 m ? 0 ,使得 Am ? E ,其中 E 為 n 階單位矩陣. 4. 設 A 為 n 階矩陣, E 為 n 階單位矩陣, A, E ? A, E ? A?1 均可逆,證明: ?E ? A??1 ? ?E ? A?1 ??1 ? E. 5. 證明:正交矩陣的特征根的模等于 1. 6. 設 A ? 0 是 m? n 矩陣, bT ? (b1 , ,bm ),ATX=0 的解空間為W ,證明:線性方程 組 AX ? b 有解的充要條件是 b ? W . 第2頁共2頁 寧波大學 2014 年攻讀碩士學位研究生 入 學 考 試 試 題(A 卷) (答案必須寫在答題紙上) 考試科目: 高等代數 科目代碼:871 一.填空題(每小題 4 分,共 32 分) 適用專業: 基礎數學、應用數學 1. 設 A ? ( A1, A2 , A3 ) 為 3 階方陣,且| A | = -4,則 A3 ? 3A1, A2 ,4A1 ? ________. 2. 設線性方程組 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? 2x2 ? x3 ? 3 ? ax3 ? 9 無解, 則 a 的值為________________. ??2x1 ? x2 ? 3x3 ? 6 ?0 0 1? 3. 設矩陣 B ? ? ? 0 1 0 ? ? ,已知矩陣 A 相似于 B,則秩(A – 2E)+秩(A – E )=______ ?? 1 0 0?? 4. 設 A 為 n 級方陣,且 Ak ? 0 ,則 (E ? A)?1 ? _____________________. 5.已知 5 級 λ-矩陣 A(λ)的各級行列式因子: D1(?) ? D2(?) ? D3(?) ?1, D4(?) ? ?(? ?1), D5(?) ? ?3(? ?1)2 則A(λ)的不變因子是_______________________________________. 6. 設V ? P3 , 線性變換 A(x1, x2 , x3 ) ? (2x1 ? x2 ? 4x3 ,3x2 ? 5x3 , ?x1 ? 3x2 ), 則線性變換 A 在基 (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) 下的矩陣是____________________. ? 1 ? ? 2? ? ?1? 7. 在歐氏空間 R3 中,基?1 ? ? ? ?2 ?

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