當前位置:首頁 >> 理學 >> 1.1 質點運動學 2_圖文

1.1 質點運動學 2_圖文

v 上次課部分內容回顧: 上次課部分內容回顧: 方向與 方向與 ? r 同. v v ?r ?x v ?y r ?z r 1、平均速度 v = 、 = i + j+ k ?t ?t ?t ?t
平均速度大小 v 平均速度大小 v =
?x 2 ?y 2 ?z 2 ( ) +( ) + ( ) ?t ?t ?t

v v v v dr 方向沿該點切向 = vxi + v y j v= 2、速度 、 dt vy r 2 2 θ = arctan 大小為 v = v x + v y vx
速度的性質: 矢量性、瞬時性、相對性。 速度的性質 矢量性、瞬時性、相對性。 r ds dr = 3、速率 瞬時速率 v = 、

若:從起點沿一閉合路徑回到終點, 從起點沿一閉合路徑回到終點,

r r Q ?r = 0,∴ v = 0

dt

dt

一般, 一般,平均速度的大小不等于平均速率

五、加速度 1 平均加速度

反映速度大小、方向變化快慢的物理量。 反映速度大小、方向變化快慢的物理量。

y
A
O

單位時間內的速度增 量即平均加速度

v vA
B

v vB

v v a 與 ?v 同方向 。
2(瞬時)加速度 (瞬時)

v v ?v a = ?t

v vA

v x ?v
v vB

v v ?v dv v a = lim = ?t →0 ?t dt

r 的方向: a 的方向:

r r2 r dv dr a= = 2 dt d t

r r r a = axi + a y j
加速度的大小

dv x dx 2 ax = = 2 dt dt dv y dy 2 ay = = 2 dt dt

v vA

v ?v
v vB

a = a +a
2 x

2 y

例 勻速率圓周運動

加速度的方向 y θ = arctan a

ay
x

dv ≡0 dt v v v(t ) a = a ≠ 0

O

ay

θ ax

r a
x

v v (t + d t )

v dv

dv a≠ dt

y
勻速率圓周運動,已知: 例 勻速率圓周運動,已知:

v v(t )
R

v v v 得:r = Rcosωti + Rsin ωtj
v dx v dy v v= i + j dt dt v 2v dv d r v a = = 2 dt dt
向心加速度

x = Rcosω t, y = Rsin ω t

r a

o

x

r 沿半徑指向圓心, a 沿半徑指向圓心,故稱

v dv

v v(t )

v v (t + d t ) v v v(t ) dv

已知一質點沿橢圓軌道運動, 例1.3 已知一質點沿橢圓軌道運動,其運動學方程為 r r r 求質點的加速度, r = a cos ωti + b sin ωtj , 求質點的加速度 , 并證明加速度 的方向始終指向橢圓中心。 的方向始終指向橢圓中心。 當 a = b, 為圓軌道。 , 為圓軌道。 解 按已知 x = a cosωt 、y = b sinωt, 質點的加速度 a 沿坐 標軸x、y的投影為

dx ax= =-ω2a cosωt 2 dt
2

d2 y a y= =-ω2b sinωt dt 2 r r r r r 2r 2 a = a x i + a y j = ?ω (a cos ωti + b sin ωtj ) = ?ω r
方向始終相反, 加速度 a 與位矢 r 方向始終相反, 即加速度方向始終指向橢圓中心 指向橢圓中心。 即加速度方向始終指向橢圓中心。

討論


v ?v = ?v
? v = cb

在Ob上截取 上截取

oc = oa
v v(t )
O

a

v ?v

b

v ? v = ac + cb v v = ?v n + ?v t v ?v n = ac v ?v t = cb

v v(t + ?t )

c

速度方向變化 速度大小變化

r r 直線運動, 的方向沿該直線。加速, 與速度同向; 直線運動,a 的方向沿該直線。加速, a 與速度同向;減 r 與速度反向。 速,a 與速度反向。

r r 曲線運動, 的方向指向曲線凹側。并且,加速, 曲線運動, 的方向指向曲線凹側。并且,加速, 朝前 a a r 向后指。 減速, 指;減速,a 向后指。
這時用直角坐標表示不太方便

六、法向加速度和切向加速度
在直角坐標系中, 在直角坐標系中 ,加速度公式無法看出哪一部分是由速 大小變化產生的加速度 哪一部分是由速度方向 變化產生的加速度, 方向變化產生 度大小變化產生的加速度,哪一部分是由速度方向變化產生 的加速度,所以引入自然坐標系來描寫。 的加速度,所以引入自然坐標系來描寫。 自然坐標系來描寫 自然坐標系是建立在物體運動的軌跡上的,有兩個坐標軸, 自然坐標系是建立在物體運動的軌跡上的,有兩個坐標軸, 切向坐標和法向坐標。 切向坐標和法向坐標。 ?切向坐標 τ 沿運動軌跡的切 切向坐標 線方向; 線方向; ?法向坐標 n 沿運動軌跡的法 法向坐標 線方向。 線方向。

n

n

τ

τ

用自然坐標表示平面曲線運動中的速度和加速度 1. 速度
v v ?s

?s = s(t + ?t) ? s(t)

s+

P
?

v v v ?r ?r ?s v r (t + ?t) v = lim = lim( ) ?t→0 ? t ?t→0 ?s ?t v v ? O 參考物 ?r ?s ?r ds = ( lim )( lim ) = ( lim ) ?t→0 ? ?t→0 ? dt s ?t→0 ?t s v r ?r ds ds v v 速度方向沿該點切向 = ( lim τ ) = τ =vτ ?t→0 ?s dt dt
=1 速度矢量在切線上的投影

? O 1 v r (t)

v ?Q ?r L

2. 加速度 v v 2 v v dv d ds v d s v ds dτ v ds v a= = ( τ ) = 2τ + v = τ =vτ dt dt dt dt dt dt dt 2 d sv v v 第一項: 第一項: 2 τ 叫切向加速度 a τ τ (t) dt P Q ? 2 v d s dv ? τ (t + ?t) 大小為 大小為 = ?θ 2 L v dt dt dt n(t) v v n(t + ?t) O 方向為 方向為 τ
意義: 意義: 反映速度大小變化的快慢

v ds dτ v 第二項: 第二項: 叫法向加速度 an dt dt v v v ?τ =τ (t + ?t) ?τ (t)

v τ (t)



v ?τ

v τ (t + ?t)

當 ?t →0 時

v τ (t)

v v v v ?θ v ?τ = τ (t) ?θ = ?θ ?τ // n ?τ v v v τ (t + ?t) ?τ = ?θ n v v dτ ?τ ?θ v ?θ ?s v 1 v = lim 因而 = lim n = lim n = vn ?t→0 ? ? dt ?t→0 ?t ?t→0 ?t s t ρ v ds dτ 1 v v2 v v =v vn = n = an dt dt ρ ρ 曲率半徑 v2 v 法向加速度: 大小為 方向為 法向加速度: 大小為 方向為 n ρ
意義: 意義: 反映速度方向變化的快慢 加速度
2 2 v v v v v dv v ds 2 1 v d s v a = ann + aτ τ = n + τ = ( ) n + 2 τ ρ dt dt ρ dt

一汽車在半徑R=200 m 的圓弧形公路上行駛,其運動學 的圓弧形公路上行駛, 例 一汽車在半徑 方程為s 方程為 =20t ? 0.2 t 2 (SI) . 時的速度和加速度大小。 求 汽車在 t = 1 s 時的速度和加速度大小。 解 根據速度和加速度在自然坐標系中的表示形式,有 根據速度和加速度在自然坐標系中的表示形式,

ds v = = 20 ? 0.4t dt dv aτ = = ?0.4 dt
2 τ 2 n

v(1) =19.6 m/s
v2 (20 ? 0.4t)2 an = = R R
2 2 2

? (20 ? 0.4t) a = a + a = (? 0.4) + ? ? R ? ? (20 ? 0.4×1) a(1) = (? 0.4) + ? ? 200 ?
2 2 2

? ? ? ?

? ? =1.44 m/s2 ? ?

討論

v v dv v dτ d2s v v2 v v d 在一般情況下 a = (vτ ) = τ +v = 2τ + n dt dt dt dt ρ r 其中ρ 為曲率半徑, 其中ρ 為曲率半徑,n的方向指向曲率圓中心
引入曲率圓后, 引入曲率圓后,整條曲線就可看成是由許多不同曲率半 徑的圓弧所構成 v v aτ P v A ? ? θ v an ρ r a ′ ρ ρ B?

a = aτ + a
2

2 n

an , tanθ = aτ

r 2r r 例 已知質點運動方程為 r = 2t i + t j (SI)
求 t1 = 1s → t2 = 3s 之間的路程 。

v v v v dr d v 2 v 質點運動速度為 速度 = (2ti + t j ) = 2i + 2t j 解 質點運動速度為 v = dt dt
速率為 速率為 v = vx +vy = 2 + 4t = 2 1+ t
2 2 2 2
2 s2
1

2

ds =vdt = 2 1+ t dt ? ∫ ds = ∫ 2 1+ t 2dt 路程有 路程有 s t
1

t2

Q∫

t 1 2 1+ t dt = 1+ t + ln t + 1+ t 2 + c 2 2
2

(

)

3 + 10 ∴s2 ? s1 = ?s = 3 10 ? 2 + ln = 9.98 m 1+ 2

例 已知質點的運動方程為

x = Acosω t, y = Asinω t, z = Bt
求 在自然坐標系中任意時刻的速度 解 Qds = vx +vy +vz dt
2 2 2

r ds v v v = τ = vτ dt
r ds dr v= = dt dt

=
0

( Aω) cos ωt + ( Aω) sin2 ω t + B2 dt
2 2 2
s t 0

∴s = ∫ ds = ∫

A2ω2 + B2dt = A2ω2 + B2t

v ds v v 2 2 2 v v =vτ = τ = A ω + B τ dt

將一根光滑的鋼絲彎成一個豎直平面內的曲線, 例 將一根光滑的鋼絲彎成一個豎直平面內的曲線,質點可沿 鋼絲向下滑動。已知質點運動的切向加速度為 a = ?g sinθ 鋼絲向下滑動。 τ g 為重力加速度,θ 為切向與水平方向的夾角. 為重力加速度, 為切向與水平方向的夾角. 質點在鋼絲上各處的運動速度. 求 質點在鋼絲上各處的運動速度. 解 由題意可知
y
dy P

dv dv ds dv aτ = = ?g sinθ = =v dt ds dt ds

ds

vdv = ?g sinθ ds
從圖中分析看出

dy sinθ = ds

θ
O
2

x



v

v0

vdv = ?∫ gdy
y0

y

v2 =v0 + 2g( y0 ? y)

一般地, 一般地,加速度

r dvτ r dvn r r r r r eτ + en a = a τ + an = a τ τ + an n =
dt dt
dvτ aτ = 由于速度大小變化產生的加速度; 大小變化產生的加速度 由于速度大小變化產生的加速度; dt r 2 v en 由于速度方向變化產生的加速度。 方向變化產生的加速度 由于速度方向變化產生的加速度。 an = ρ an 2 2 大小 a = aτ + an 方向θ = arctan aτ

θ

r eτ

r a

思考 求拋體運動軌跡中 點的曲率半徑 求拋體運動軌跡中B B點

Qaτ = 0 , an = ?g ,vB =v0cosθ
(v0cosθ) vB ∴ρB = = an g
2 2

y v v
? O

B

θ

x
C

七、圓周運動的角量表示 1 平面極坐標

角量與線量的關系

設一質點在 Oxy 平面內 運動, 運動,某時刻它位于點 A .矢 矢 徑 為 θ . 于是質點在點 A 的位 置可由 A(r ,θ ) 來確定 .

y
A

v r



x

軸之間的夾角

o

θ

v r
x
x = r cos θ y = r sin θ

為坐標的參考系為平面極坐標系 以 ( r ,θ ) 為坐標的參考系為平面極坐標系 . 它與直角坐標系之間的變換關系為

2 角位置和角位移 角位置 θ (t ) 角位移 ? θ = θ ( t + ? t ) ? θ ( t ) 3 角速度和角加速度

y
B

r
o



A

θ

d θ (t ) 角速度 ω ( t ) = dt

x

dω 角加速度 α = dt

4 位移與角位移的關系

v v ω ?dθ k
r v
O

r r r dr = dθ ? k × r

v dr = rdθ

r dθ P

v dr

v v v v dr dθ ? k ×r dθ v v v v = k × r = ω× r v= = dt dt dt
大小 v =ωr (標量式) 標量式) 方向

5 速度與角速度的關系

r r r dr = dθ ? k × r

r r 由右手法則確定) ω×r (由右手法則確定)
at = dv = r d ω = rα dt dt
2

v v ω ?dθ k
r v
O

6 切向加速度與角加速度的關系 切向加速度與角加速度的關系 由 v =ωr

r dθ P

v dr

7 法向加速度與角速度的關系 a = v = ω 2 r 法向加速度與角速度的關系 n

r

1 勻速率圓周運動:速率 勻速率圓周運動: v v 常量 . a = 0 a = a n en t an = r 2

v 和角速度 ω 都為

ω

=

v 2e rω n

2 勻變速率圓周運動 設

α = 常量

t = 0 時, θ = θ 0 , ω = ω 0 ω = ω 0 +αt θ = θ 0 + ω 0t + 1 α t 2 2 ω 2 = ω02 + 2α (θ ? θ 0 )

例 如圖一超音速殲擊機在高空 A 時的水平速率為 1940 km/h , 沿近似于圓弧的曲線俯沖到點 B ,其速率為 其速率為 2192 km/h , 所經歷的時間為 3s , 設圓弧 AB 的半徑為 勻變速率圓 3.5km , 且飛機從 到B 的俯沖過程可視為勻變速率圓 且飛機從A 的俯沖過程可視為勻變速率 若不計重力加速度的影響, 飛機在點B 周運動 , 若不計重力加速度的影響 求: (1) 飛機在點 的加速度; 飛機由點A 的加速度 (2)飛機由點 到點 所經歷的路程 . 飛機由點 到點B A

v vA
v β at
B

解(1)因飛機作勻變速率 ) 運動所以 at 和 α 為常量 .

v r a n θ
o

v a

dv at = ,有 有 dt



vB

vA

dv =



t

0

atdt

v vB



vB ? v A = at t

已知: 已知:v A = 1940km ? h

?1

t = 3s

vB = 2192km ? h ?1

因為 vB

? vA = at t
v vA

在點 B 的法向加速度 A

vB ? v A at = = 23.3m ? s ?2 t 2 vB ?2 an = = 106 m ? s r
在點 B 的加速度

AB = 3.5km

v r a n

θ

v β at

B

o

v a

v vB

r v v a 與 B 之間夾角 β 為

a=

2 at

2 + an

= 109m ? s

?2

an β = arctan = 77 .6 o at

已知: 已知: v A = 1940km ? h

?1

vB = 2192km ? h ?1

v 所轉過的角度θ 為 (2)在時間 t 內矢徑 r )
A

t = 3s

AB = 3.5km

v vA
B
β

1 2 θ = ω At + αt 2

飛機經過的路程為

v r a n θ
o

v at

v a

代入數據得

1 2 s = rθ = v At + a t t 2
s = 1722 m

v vB

1.3

質點運動學的基本問題

質點運動學的問題可以分為兩類: 質點運動學的問題可以分為兩類 1 由質點的運動方程可以求得質點在任一時刻的 位矢、速度和加速度; 位矢、速度和加速度; 用求導方法 2 已知質點的加速度以及初始速度和初始位置 已知質點的加速度以及初始速度和初始位置, 可求質點速度及其運動方程 . 用積分方法

v r (t )

求導 積分

v v (t )

求導 積分

v a (t )

v v 2 v 例1:已知一質點運動方程, r = 2t i + (2 ? t ) j :已知一質點運動方程,

v v v v v v 由 解 (1)由運動方程得位矢 r = 2i + j r = 4i ? 2 j 2 1 v v v v v v v ?r = r2 ? r = (4 ? 2)i + (?2 ?1) j = 2i ? 3 j 1
v v 2v v v v v d r dv r dr (2) v = = ?2 j = 2i ? 2t j a = 2 = dt dt dt v v v 為常矢量 當 t =2s 時 v2 = 2 i ? 4 j

質點的位移; 求 (1) t =1s 到 t =2s 質點的位移; (2) t =2s 時速度和加速度。 時速度和加速度。 (3)軌跡方程。 軌跡方程。 軌跡方程

(3)

x = 2t

y = 2 ?t

2
2

軌跡方程為

y = 2? x / 4

v v v v v v 例2:已知 a =16 j , t =0 時,v0 = 6i , r0 = 8k :
r 和運動方程。 求 v 和運動方程。
初始條件

v v 由已知有 dv = a =16v 解 j dt
代入初始條件 v dr v =v dt
v r
0

v v t ∫vr dv =∫0 16dt j
0

r v

v v v v -v0 =16t j

v v v v = 6i + 16tj

v v t v ∫rv dr =∫0 (6i +16t j )dt

v v 代入初始條件 r = 8k 0 v v v 2v r = 6t i + 8t j + 8k

討論: 討論:勻加速運動
1、 勻加速運動 、 r 加速度的大小和方向都不隨時間改變, 加速度的大小和方向都不隨時間改變,即加速度 a 但速度方向可能改變, 為恒矢量的運動。 但速度方向可能改變 為恒矢量的運動。 (但速度方向可能改變,如拋體 運動) 運動 2、 勻加速運動的質點運動方程 、

v 已知一質點作勻加速運動, 為恒矢量, 已知一質點作勻加速運動 其加速度 a 為恒矢量 有
v v v v a = ax i + a y j + az k
r v d v = ad t
r v dv a= dt



v v v v0

v dv =

∫0

t

v a dt

積分得勻加速運動的速度公式 積分得勻加速運動的速度公式

v v v v = v 0 + at
寫成分量式



v v v v0

v dv =

∫0

t

v a dt

vx = v0 x + axt
v v dr = vdt

再由

v v dr v= v dt

v y = v0 y + ayt vz = v0 z + azt



r r r0

v dr =

∫0

t

v v ( v 0 + a t )dt

積分可得勻加速的位移公式: 積分可得勻加速的位移公式: 位移公式

1v 2 v v r r ? r0 = v0t + at 2

1v 2 v v r r ? r0 = v0t + at 2
寫成分量式為

y
1 2 a yt 2

1 2 x ? x0 = v0 x t + a x t 2 1 2 y ? y0 = v0 y t + a y t 2

v0 yt

v v0 t

1v 2 at 2 v

v r0 = 0

r

o v t 0x

1 2 a xt 2

x

1 2 z ? z 0 = v0 z t + a z t 2

t=0 時 ?

r = r0 ?
?

v = v0

初始條件

在已知加速度的情況下,給定了初始條件, 在已知加速度的情況下,給定了初始條件,就可以求出 質點在任意時刻的位置和速度。 質點在任意時刻的位置和速度。

3、勻加速直線運動 、 特點: 特點: 加速度

是勻加速運動的一個特例

r 為一常量, 軸上作直線運動; a 為一常量,且物體在 x 軸上作直線運動;
r v

速度方向只可能兩個。 速度方向只可能兩個。 0

m
r 或 ?v

x

勻加速運動的質點運動各公式

v v v v ? v 0 = at

1v 2 v v r r ? r0 = v0t + at 2

勻加速直線運動公式
取勻加速運動的

x

軸分量



v x = v0 x + a x t

? x = x0 初始條件 :t=0 時 ? ? v = v0

1 2 x ? x0 = v 0 xt + a xt 2 去掉下標

注意
1、三個公式中只 、 (1) 有兩個公式獨立。 ) 有兩個公式獨立。 (2) 2、該組公式只適 ) 、 用于勻變速直線

v = v0 + at
1 2 x ? x0 = v 0 t + at 2 )、(2) 由(1)、( )式消 t 有 )、(
2 2

) 運動。 v = v0 + 2a( x ? x 0 ) (3) 運動。


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